Isaac Newton - Pai da Física e dos Cálculos.

Tabuada Simples.

Aprendendo e Rindo.

Aula De Raiz Quadrada.

Raiz Quadrada.

Conhecendo a raiz quadrada

A raiz quadrada de um número é uma importante operação matemática, assim como a adição, a subtração, a multiplicação e a divisão. Somente alguns números possuem raiz quadrada, são aqueles considerados quadrados perfeitos. Os números considerados quadrados perfeitos recebem este nome por serem resultados de multiplicações de números iguais. Observe:

1 x 1 = 1 2 x 2 = 4 3 x 3 = 9 4 x 4 = 16 5 x 5 = 25 6 x 6 = 36 7 x 7 = 49 8 x 8 = 64 9 x 9 = 81 10 x 10 = 100 11 x 11 = 121 12 x 12 = 144 13 x 13 = 169

14 x 14 = 196 15 x 15 = 225 16 x 16 = 256 17 x 17 = 289 18 x 18 = 324 19 x 19 = 361 20 x 20 = 400 21 x 21 = 441 22 x 22 = 484 23 x 23 = 529 24 x 24 = 576 25 x 25 = 625 ..... ..... .....

Observe que os quadrados perfeitos são infinitos.

A raiz quadrada exata de um quadrado perfeito é o número que multiplicado por ele mesmo, resulta no número da raiz. Veja:

√4 = 2, pois 2 x 2 = 4

√36 = 6, pois 6 x 6 = 36

√81 = 9, pois 9 x 9 = 81

√121 = 11, pois 11 x 11 = 121

√169 = 13, pois 13 x 13 = 169

√324 = 18, pois 18 x 18 = 324

Aplicando Pitágoras

O Teorema de Pitágoras é considerado uma das principais descobertas da Matemática, ele descreve uma relação existente no triângulo retângulo. Vale lembrar que o triângulo retângulo pode ser identificado pela existência de um ângulo reto, isto é, medindo 90º. O triângulo retângulo é formado por dois catetos e a hipotenusa, que constitui o maior segmento do triângulo e é localizada oposta ao ângulo reto. Observe:

Catetos: a e b
Hipotenusa: c

O Teorema diz que: “a soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa.”

a² + b² = c²

Exemplo 1
Calcule o valor do segmento desconhecido no triângulo retângulo a seguir.

x² = 9² + 12²
x² = 81 + 144
x² = 225
√x² = √225
x = 15


Foi através do Teorema de Pitágoras que os conceitos e as definições de números irracionais começaram a ser introduzidos na Matemática. O primeiro irracional a surgir foi √2, que apareceu ao ser calculada a hipotenusa de um triângulo retângulo com catetos medindo 1. Veja:

x² = 1² + 1²
x² = 1 + 1
x² = 2
√x² = √2
x = √2

√2 = 1,414213562373....

Exemplo 2
Calcule o valor do cateto no triângulo retângulo abaixo:

x² + 20² = 25²
x² + 400 = 625
x² = 625 – 400
x² = 225
√x² = √225
x = 15



Exemplo 3
Um ciclista acrobático vai atravessar de um prédio a outro com uma bicicleta especial, percorrendo a distância sobre um cabo de aço, como demonstra o esquema a seguir:

Qual é a medida mínima do comprimento do cabo de aço?

Pelo Teorema de Pitágoras temos:

x² = 10² + 40²
x² = 100 + 1600
x² = 1700
x = 41,23 (aproximadamente).

Mostrando Bhaskara

A nome Fórmula de Bhaskara foi dada em homenagem ao matemático Bhaskara Akaria, considerado o mais importante matemático indiano do século XII.

A fórmula de Bhaskara é principalmente usada para resolver equações quadráticas de fórmula geral ax²+bx+c=0, com coeficientes reais, com a≠0 e é dada por:

chamamos de discriminante: Δ = b²-4ac

Dependendo do sinal de Δ, temos:

• Δ=0, então a equação tem duas raízes iguais.
• Δ>0, então a equação tem duas raízes diferentes.
• Δ<0, então a equação não tem raízes reais.

A idéia da demonstração da fórmula de Bhaskara é o completamento de quadrados. Seja:
ax²+bx+c=0
a²x²+abx+ac=0
4a²x²+4abx+4ac=0
4a²x²+4abx+b²+4ac=b²
(2ax)²+2(2ax)b+b²=b²-4ac
(2ax+b)²=b²-4ac

Através da Fórmula de Bhaskara podemos deduzir uma expressão para a soma (S) e o produto (P) das raízes da equação do 2º grau.

Sendo x₁ e x₂ raízes da equação ax²+bx+c=0, então:

S = x₁+x₂ = -b/a

P = x_1.x₂ = c/a

A importância da Fórmula  de Bhaskara é que ela nos permite resolver qualquer problema que envolva equações quadráticas, os quais aparecem em diversas situações importantes, como na Fisica por exemplo.

Potência Detalhada.

Introdução à história

A ideia de potência é muito antiga e desde tempos remotos suas aplicações facilitaram  a vida humana auxiliando, tornando possíveis muitas representações matemáticas e solucionando problemas de elevado grau de complexidade. Assim como todas as descobertas do homem, a equação possibilitou novos horizontes e permitiu a expansão dos conhecimentos humanos norteando viagens inimagináveis pelos campos abstratos da matemática e alicerçando ciências afins como a astronomia, física, química e biologia.

Conceitos antigos dos quais se têm registros datam do século III a.C. através do astrônomo e inventor Arquimedes em sua tentativa de calcular quantos grãos de areia seriam necessários para encher o universo. Nessa época, tinha-se a ideia de que as estrelas limitavam o nosso universo dando-lhe um formato esférico e, ao calcular o volume dessa esfera astronômica, chegaria ao resultado desejado. Após longo estudo e dedicação, Arquimedes conseguiu encontrar um resultado assombrosamente grande em termos de representação numérica e soube que seria impossível demonstrar sua resposta para que outros conseguissem compreendê-la.

Após séria análise detalhada dos números que apareciam no cálculo do volume da esfera gigante, Arquimedes percebeu um fato curioso: havia uma grande repetição de multiplicações que envolviam o número 10. Surgiu então a ideia de representar sua resposta usando potência de base 10. Hoje utilizada como notação científica e aplicada a várias áreas do conhecimento humano, através da potência de base dez, podemos escrever a resposta conquistada por Arquimedes como 10⁶³.

Toda notação moderna que se tem de potência teve fundamento com o Matemático francês René Descartes (1596-1650) no século XVII. Descartes, além de suas contribuições referentes à potencialização é também conhecido como Pai da Filosofia e da Matemática Modernas.

Onde estão as potências?

A resposta à pergunta anterior seria em nosso cotidiano.  Acompanhem alguns exemplos a seguir:

• Um jogo de xadrez é formado por um tabuleiro tipo 8 x 8 e representa uma matriz quadrada de ordem 8. Podemos calcular o número de casas desse tabuleiro utilizando conhecimentos sobre potência. Para isso, elevamos o número de linhas (8) ao número de colunas (8), ficando 8² = 64.
• Num sítio, as laranjas extraídas periodicamente, são embaladas em forma cúbica: 4 laranjas no comprimento, 4 na largura e 4 na altura. Se desejarmos saber quantas dessas frutas têm nesses cubos, elevamos ao 4, o número de vezes que ele se repete (3), ficando 4³ = 64.

Lembro aos caros leitores que o objetivo do artigo não é apenas mostrar as aplicações das potências em nosso cotidiano, e sim, mostrar-lhes os seus conceitos, propriedades e resoluções, a fim de que abstraiam esses conhecimentos e utilizem-no para tornar suas vidas mais práticas. Quando conseguimos compreender bem um conteúdo, saberemos onde melhor se encaixará a sua aplicação.

Definição e resolução

Potência é todo número na forma aⁿ, com a ≠ 0.

a é a base, n é o expoente e aⁿ é a potência.

aⁿ = a x a x a x a x...a (n vezes)

Por convenção, admitiremos que todo número elevado a 0 é igual a 1, a⁰ = 1 e todo número elevado a 1 é igual a ele próprio, a¹ = a.

Exemplos

2¹ = 2                          54⁰ = 1                              4⁴ = 256                             5³ = 125

Potência de base racional

Para resolver uma potência cuja base é um número fracionário, elevamos tanto o numerador quanto o denominador da fração ao expoente dado.

Exemplo

Potência de expoente negativo

A ideia de inverso é utilizada para solucionar potências de expoente negativo, transformamos numerador em denominador, e vice-versa, logo após, tornamos o expoente positivo.

Exemplos

Multiplicação de potências de mesma base

Resolvemos a multiplicação de potências de mesma base conservando uma das bases e adicionando os expoentes.

a­^m . aⁿ  =  a^{m + n}

Exemplos

Divisão de potências de mesma base

Toda divisão de potências de mesma base, com esta diferente de zero, pode ser resolvida conservando uma das bases e subtraindo os expoentes.

a^m : aⁿ = a^{m – n}, com a ≠ 0.

Exemplos

Multiplicação de fatores elevados ao mesmo expoente

Para o produto de dois ou mais fatores elevados ao mesmo expoente, elevamos cada um dos fatores ao expoente dado na questão.

(a . b)ⁿ = aⁿ . bⁿ

Exemplos

(5 . 6)⁴ → 5⁴ . 6⁴                                         (0,2 . 1,3)³ → (0,2)³ . (1,3)³

Divisão de expoente igual

Aqui segue-se o mesmo critério dado na propriedade anterior: eleva-se o dividendo e o divisor ao mesmo expoente.

(a : b)ⁿ = aⁿ : bⁿ

Exemplos

(9 : 8)⁵ = 9⁵ : 8⁵                                                 (2,3 : 0,1)² = (2,3)² : (0,1)²

Potência de potência

Quando elevamos uma determinada potência à outra potência, temos uma potência de potência. Para resolvê-la, podemos conservar a base e multiplicar os expoentes.

(a^m)ⁿ = a^{m . n}

Exemplos

(2³)⁴ → 2^{3 . 4} = 2¹²                                             [(1/5)²]⁵ → (1/5)^{2 . 5} = (1/5)¹⁰

Potência de base 10

A potência de base 10 é utilizada para abreviar a escrita de números que contenham n fatores 10, facilitando assim sua representação.

Exemplos

10⁵ = 100000 (5 zeros)
10⁷ = 10000000 (7 zeros)
10³ = 1000 (3 zeros)

Nesse tipo de potência, quanto o expoente for positivo, ele indica a quantidade de zeros que deverão ser acrescentados após o algarismo 1.

10^-2 = 0,01 (2 casas decimais)
10^-5 = 0,00001 (5 casas decimais)

Aqui, como o expoente é negativo, ele indica o número de casas decimais que deverão ser criadas a partir do zero e com final 1.

Considerações finais

É muito importante e necessário que se conheça sobre os vários tipos de conteúdos que nos ajudam a, cotidianamente, facilitar nossa vida social. Exemplo disso são as potências. Elas nos trazem conforto na hora de calcular, nos ajudam a compreender melhor as ideias de divisão e multiplicação, nos abrem as portas, através de suas propriedades, dos saberes algébricos generalizantes do conhecimento matemático e facilitadores da aplicabilidade dos estudos realizados.

Nenhum conhecimento é tão completo que encerre-se em si mesmo, nem tão pobre que deva ser descartado ao primeiro olhar. Todos os sabres deverão passar por sério processo de análise, processamento mental e arquivamento, pois, com certeza, eles serão utilizados posteriormente à medida que novos desafios forem surgindo em nossas jornadas naturais. Não tenhamos os estudos como fardos que somos obrigados a levar ao longo dos nossos dias, mas sim, como relíquias, que temos que guardar, apreciar e exibir como troféus conquistados nas maratonas do saber educacional. 

“Uma boa educação é aquela que prepara cidadãos críticos e reflexivos sobre os males que assolam a sociedade na qual estão inseridos.”

A Matemática e Suas Passagens.

A matemática é a ciência dos números e dos cálculos. Desde a antiguidade, o homem utiliza a matemática para facilitar a vida e organizar a sociedade. A matemática foi usada pelos egipicios  nas construção de pirâmides, diques, canais de irrigação e estudos de astronomia. Os gregos antigos também desenvolveram vários conceitos matemáticos. Atualmente, esta ciência está presente em várias áreas da sociedade como, por exemplo, arquitetura, informatica  medicina, fisica, quimica etc. Podemos dizer, que em tudo que olhamos existe a matemática.

Abaixo, um pequeno histórico da evolução histórica da matemática :

4000 a.C. - Na Mesopotania , os Sumérios desenvolvem um dos primeiros sistemas numéricos, composto de 60 símbolos.
520 a.C. - O matemático grego Eudoxo de Cnido define e explica os números irracionais.
300 a.C. - Euclídes desenvolve teoremas e sintetiza diversos conhecimentos sobre geometria. É o início da Geometria Euclidiana.
250 - Diofante  estuda e desenvolve diversos conceitos sobre álgebra.
500 - Surte na Índia um símbolo para especificar o algarismo zero.
1202 - Na Itália, o matemático Leonardo Fibonacci começa a utilizar os algarismo arábicos.
1551 - Aparece o estudo da trigonometria, facilitando em pleno Renascimento Científico, o estudo dos astros.
1591 - O francês François Viète  começa a representar as equações matemáticas, utilizando letras do alfabeto.
1614 - O escocês John Napier  publica a primeira tábua de algorítimos.
1637 - O filósofo, físico e matemático francês René Descarte desenvolve uma nova disciplina matemática: a geometria analítica, com a misitura de álgebra e geometria.
1654 - Os matemáticos franceses Pierre de Fermat e Blaise Pascal  desenvolvem estudos sobre o cálculo de probabilidade.
1669 - O físico e matemático inglês Isaac Newton desenvolve o cálculo diferencial e integral.
1685 - O inglês John Wallis cria os números imaginários.
1744 - O suíço Leonard Euler desenvolve estudos sobre os números transcendentais.
1822 - A criação da geometria projetiva é desenvolvida pelo francês Jean Victor Poncelet.
1824 - O norueguês Niels Henrik Abel conclui que é impossível resolver as equações de quinto grau.
1826 - O matemático russo Nicolai Ivanovich Lobachevsky desenvolve a  geometria não euclidiana.
1931 -  Kurt Gödel, matemático alemão, comprova que em sistemas matemáticos existem teoremas que não podem ser provados nem desmentidos.
1977 - O matemático norte-americano Robert Stetson Shaw faz estudos e desenvolve conhecimentos sobre A Teoria do Caos.
1993 - O matemático inglês Andrew Wiles consegue provar através de pesquisas e estudos o último teorema de Fermat. 

Principais áreas da Matemática:

- Aritmética
- Álgebra
- Geometria
- Geometria Analítica
- Porcentagem
- Trigonometria
- Estatística
- Educação Matemática.